特征方程求特征值技巧,标准正交基怎么单位化
在计算最佳逼近元时,为什么要选择标准正交基?
1基于幂基计算最优逼近元,计算过程稳定性差
二次定理说明标准正交基的优越性:
定理1
设g的标准正交基为{g1,g2,gn},fE,则g=ni=1cigi是e中f的最佳逼近当,且只有ci=f,gi
证明:
g=ni=1cigi是e中f的最佳近似,只有fgG
且fggi,I=1,2,n
fI=1NCIGI,gj=f,gici=0
可利用Gram-Schmidt正交过程将一般的基础转换成标准正交基础
正交多项式:
如果内积的定义满足fg,h=f,GH,则根据一元表达式函数1,x,应用Gram-Schmidt的正交化过程得到的结果称为正交多项式。
常用内积如下
f,g=BAF(x ) g ) x ) w ) x ) dx
满足以上要求。
定理2
多项式序列是正交的,定义如下:
pn(x )=) Xan ) pn1 ) x ) BNPN2 ) x ),n2
其中p0(x )=1,p0(x )=xa1,
an=XPN1(x ),pn1 ) x ) pn1 ) x ),pn1 ) x ) ) ) ) )。
bn=XPN1(x ),pn2 ) x ) pn2 ) x ),pn2 ) x ) ) ) ) ) )。
使用的内积满足fg,h=f,GH。
Legendre多项式
使用的内积如下
f,g=11f(x ) g ) x ) dx
生成的正交多项式是Legendre多项式。
Tchebyshev多项式
使用的内积如下
f,g=11f(x ) g ) x ) dx1x2
生成的正交多项式是Tchebyshev多项式。
雅可比多项式
使用的内积如下
f,g=11f(x ) g ) x ) ) 1x )) 1x )dx
生成的正交多项式是Jacobian多项式。