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标准正交基概述
2011~2012年春季学期课程论文
课程名称：线性代数与几何
论文题目：探索欧氏空间的标准正交基
作者名称： XXX学号： XXX
成绩：
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评委：
审查日期：
注：后附课程论文正文
探索欧氏空间的标准正交基
XXX XXX XXX
摘要：本文首先给出欧式空间标准正交基的定义和性质，然后给出欧氏空间
任意一组无线性关系的向量组进行正交化和单元化过程，最后给出两组标准正交
底座之间的关系。
关键词：标准正交基正交化正交矩阵
正文：
一.引言：标准正交基对欧氏空间具有特殊重要性。 在欧氏空间中研究线性变换和二次型时，
都需要通过标准正交基之间的转移来简化线性变换和二次型矩阵，因此研究欧氏空间的标准
正交基很有意义
二.定义：
v ) v
定义1 )设为欧几里得空间。 如果v满足条件() 0，则称为正交，表示为。
v
中由两个正交的非零向量组成的向量组称为正交向量组。 如果的基m是正交向量
1 k
组将m称为正交基。 由两个正交的单位向量构成的基称为标准正交基。
、v1、i 1、n
定义2 ) I=是欧几里得空间的基础，另外，
1n，0，IjI
i j
v
I称为的标准正交基。
三.性质：
v
如果性质1 .1 )是的一个基，则以下条件等价。
1 n
1 )1)为标准正交基团
1 i j
2、
Ij
0Ij
3V，
1 1 2 2 n n
n
4、v、x、x、y、y、xy
1 n 1 n i i
i 1
证明：当时，1
1IjIIIII
在Ij的情况下，正交向量的定义很容易理解，0，命题成立。