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二进制小数和IEEE浮点标准

二进制小数

首先复习进位计数制的要素：

1. 数码：用来表示进制数的元素。比如

• 二进制数的数码为：0,1

• 十进制数的数码为：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

• 十六进制数的数码为：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

2. 基数：数码的个数。比如

• 二进制数的基数为2

• 十进制数的基数为10

• 十六进制数的基数为 16

3. 位权：数制中每一固定位置对应的单位值称为位权。

   总结来说

• 十进制表示公式为：

  d=∑mi=−n10i×did=∑i=−nm10i×di

• 二进制表示公式为：

  b=∑mi=−n2i×bib=∑i=−nm2i×bi

• 二进制第2位的位权为2121，第3位的位权为2222：(10010.1110)2=1∗24+0∗23+0∗22+1∗21+0∗20+1∗2−1+1∗2−2+1∗2−3+0∗2−4=16+2+1/2+1/4+1/8(10010.1110)2=1∗24+0∗23+0∗22+1∗21+0∗20+1∗2−1+1∗2−2+1∗2−3+0∗2−4=16+2+1/2+1/4+1/8

• 十进制第2位的位权为101101，第3位的位权为102102：(123.45)10＝1×102+2×101+3×100+4×10−1+5×10−2(123.45)10＝1×102+2×101+3×100+4×10−1+5×10−2

• 十六进制第2位位权为161161，第3位的位权为162162：(BAD)∗16=11×162+10×161+13×160=(2989)∗10(BAD)∗16=11×162+10×161+13×160=(2989)∗10

• 注意 ：二进制小数不像整数一样，只要位数足够，它就可以表示所有整数。假设我们仅考虑有限长度的编码，那么二进制小数无法精确的表示任意小数，比如十进制小数0.2，我们并不能将其准确的表示为一个二进制数，只能增加二进制长度提高表示的精度。如下图所示，二进制表示十进制的0.2只能无限接近，却永远无法精确表示0.2。

IEEE 浮点表示

于是为了在计算机中准确表示浮点数，IEEE指定了一条标准来规范表示浮点数，若不对浮点数的表示作出明确的规定，同一个浮点数的表示就不是唯一的。例如(1.75)10(1.75)10可以表示成1.11×201.11×20，0.111×210.111×21，0.0111×220.0111×22等多种形式。

IEEE，电气和电子工程师协会( 全称是Institute of Electrical and Electronics Engineers)是一个国际性的电子技术与信息科学工程师的协会，是目前全球最大的非营利性专业技术学会，IEEE 754 标准是IEEE二进位浮点数算术标准（IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic）的标准编号。

浮点数的存储格式

IEEE754 标准中规定：

1. Float 单精度浮点数，用 1 位表示符号，用 8 位表示阶码，用 23 位表示尾数，一共32位。

2. double 双精度浮点数，用 1 位表示符号，用 11 位表示阶码，52 位表示尾数，一共64位。

• 阶码：阶码是整数，阶符和 m 位阶码的数值部分共同反映 浮点数的表示范围及小数点的实际位置 ，常用移码或补码表示。IEEE754标准中采用移码的表示形式。

• 移码：移码（又叫增码）是对 真值补码的符号位取反 ，一般用作浮点数的阶码，引入的目的是便于浮点数运算时的对阶操作。

  

• 尾数：数符表示浮点数的符号，尾数的数值部分的位数 n 反映浮点数的 精度 ，常用原码或补码表示。IEEE754标准中采用原码的表示形式

浮点数的表示格式

浮点数表示法是指以适当的形式将比例因子表示在数据中，让小数点的位置根据需要而浮动。这样，在位数有限的情况下，既扩大了数的表示范围，又保持了数的有效精度。

浮点数的真值为：

x=(−1)S×2e×Mx=(−1)S×2e×M

其中

• S代表符号位，取值为0或1

• e代表指数，E代表阶码

• e=E−127(Float)e=E−127(Float)，e=E−1023(Double)e=E−1023(Double)

• E=e移−1E=e移−1

• 计算指数e时，对阶码E的计算采用原码的计算方式，因此单精度浮点数(Float)的阶码E为8位的取值范围是0到255。根据规定，阶码E既不全为0（数值0），也不全为1。

• 所以单精度下8位阶码E的规格化的浮点数阶码范围是1至254，因此指数e的范围则为-126至127。

• 双精度下11位阶码E的规格化的浮点数阶码范围是1至2046，所以指数e范围为-1022至1023。

• M代表尾数，决定浮点数的精度，它是一个二进制小数，表示为M=1+fM=1+f

• 其中ff是n 位的尾数所表示的小数值，满足0≤f<10≤f<1，其二进制表示为：0.fn−1fn−2⋅⋅⋅f1f00.fn−1fn−2⋅⋅⋅f1f0 ，也就是二进制小数点在最高有效位的左边。

• 由于是1+f1+f，所以我们又可以看成1.fn−1fn−2⋅⋅⋅f1f01.fn−1fn−2⋅⋅⋅f1f0

• 所以尾数的范围为1≤M<21≤M<2

由上面的每个对应位置的范围，我们可以求得

• 单精度最小规格化正数为：x=(−1)0×2−126×1x=(−1)0×2−126×1

• 单精度最大规格化正数为：x=(−1)0×2127×(2−2−23)x=(−1)0×2127×(2−2−23)

例题

a：

0,01，其中0代表是正数，所以原码和补码相同，01→0∗21+1∗20=10∗21+1∗20=1，所以阶码为+1

1.1001，其中1代表是负数，所以原码为补码末尾减一(1000)，按位取反(0111)，对应真值为-0.0111=−(2−2+2−3+2−4)=−716−(2−2+2−3+2−4)=−716

所以a=21×(−0.0111)=21×(−716)=−78a=21×(−0.0111)=21×(−716)=−78

b:

0,01，对应真值为+1

0.01001对应真值为+0.01001=+(2−2+2−5)=+932+(2−2+2−5)=+932

所以b=21×(+0.01001)=21×932=916b=21×(+0.01001)=21×932=916

规格化单精度浮点数

为了提高数据的表示精度同时保证数据表示的唯一性，需要对浮点数做规格化处理。

在计算机内，对非0值的浮点数，要求尾数的绝对值必须大于基数R(这里R=2)的倒数，即|M|≥1/R|M|≥1/R

0.5规格化

0.5的二进制为0.1

符号位S为0，指数为e=−1e=−1（为啥？我猜是因为0.1中1的最高位是-1），规格化后尾数为1.0（为啥？因为M最小为1.0）。

单精度浮点数尾数域共23位，右侧以0补全，尾数域：

M=[000 0000 0000 0000 0000 0000]2M=[000 0000 0000 0000 0000 0000]2

阶码E:

E=[−1]移−1=[0111 1111]2−1=[0111 1110]2E=[−1]移−1=[0111 1111]2−1=[0111 1110]2

对照单精度浮点数的存储格式，将符号位S，阶码E和尾数域M存放到指定位置，得0.5的机器码：

0.5=[0011 1111 0000 0000 0000 0000 0000 0000]20.5=[0011 1111 0000 0000 0000 0000 0000 0000]2

1.5规格化

1.5的二进制为1.1 符号位为0，指数e=0e=0（为啥？我猜是因为1.1中1的最高位是0），规格化后尾数为1.1（为啥？因为二进制为1.1，所以M就是1.1，如果二进制是1111，M就是1.111）。

尾数域Ｍ右侧以0补全，得尾数域:

M=[100 0000 0000 0000 0000 0000]2M=[100 0000 0000 0000 0000 0000]2

阶码E：

E=[０]移−1=[10000000]2−1=[01111111]2E=[０]移−1=[10000000]2−1=[01111111]2

得1.5的机器码：

1.5=[0011 1111 1100 0000 0000 0000 0000 0000]21.5=[0011 1111 1100 0000 0000 0000 0000 0000]2

5规格化

5的二进制为101

符号位为0，指数为e=2e=2，规格化后尾数为1.01（为啥？因为二进制为101，所以M就是1.01）。

单精度浮点数尾数域共23位，右侧以0补全，尾数域：

M=[010 0000 0000 0000 0000 0000]2M=[010 0000 0000 0000 0000 0000]2

阶码E:

E=[2]移−1=[1000 0010]2−1=[1000 0001]2E=[2]移−1=[1000 0010]2−1=[1000 0001]2

得5的机器码：

5=[0100 0000 1010 0000 0000 0000 0000 0000]2

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