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数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（23）：维数、基与坐标

6.2 维数、基与坐标

定义2

在线性空间 $V$ 中，如果存在 $n$ 个元素 $α1,α2,...,αn\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$ ，满足：

$α1,α2,...,αn\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$ 线性无关
$V$ 中任一元素 $α\alpha$ 总可由 $α1,α2,...,αn\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$ 线性表示

那么 $α1,α2,...,αn\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$ 就称为线性空间 $V$ 的一个基， $n$ 称为线性空间 $V$ 的维数

只含有一个零元素的线性空间没有基，规定它的维数为0
维数为 $n$ 的线性空间称为 $n$ 维线性空间，记作 $V$

对于 $n$ 维线空间 $V_n$ ，若知 $α1,α2,...,αn\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$ 为 $V_n$ 的一个基，则 $V_n$ 可表示为

$Vn={α=x1α1+x2α2+...+xnαn｜x1,x2,...,xn∈R}V_n=\{\alpha=x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+...+x_n\alpha_n｜x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R} \}$

即 $V_n$ 是基 $α1,α2,...,αn\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$ 所生成的线性空间

若 $α1,α2,...,αn\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$ 是 $V_n$ 的一个基，则对任何 $α∈Vn\alpha \in V_n$ ，都有惟一的一组有序数 $x_1,x_2,...,x_n$ ，使

$α=x1α1+x2α2+...+xnαn\alpha=x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+...+x_n\alpha_n$

反之，任给一组有序数 $x_1,x_2,...,x_n$ ，总有惟一的元素

$α=x1α1+x2α2+...+xnαn=(α1,α2,...,αn)[x1x2...xn]∈Vn\alpha=x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+...+x_n\alpha_n =(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ .\\ .\\ .\\ x_n \end{bmatrix} \in V_n$

以上说明 $V_n$ 中的元素 $α\alpha$ 与有序数组 $x_1,x_2,...,x_n)^T$ 之间存在一种一一对应的关系

简单的理解，任何一个向量在空间 $V_n$ 中坐标是惟一的，即向量与坐标是一一对应的

定义3

设 $α1,α2,...,αn\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$ 是线性空间 $V_n$ 的一个基

对任一元素 $α∈Vn\alpha \in V_n$ ，总有且仅有一组有序数 $x_1,x_2,...,x_n$ ，使

$α=x1α1+x2α2+...+xnαn\alpha=x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+...+x_n\alpha_n$

有序数 $x_1,x_2,...,x_n$ 称为元素 $α\alpha$ 在 $α1,α2,...,αn\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$ 这个基下的坐标，记作

$α=(x1,x2,...,xn)T\alpha=(x_1,x_2,...,x_n)^T$

作者：海轰Pro
链接：https://juejin.cn/post/7025818484592345095