博弈论(2)—纳什均衡

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纳什均衡

又称为非合作博弈均衡，是博弈论的一个重要术语，以约翰·纳什命名。 在一个博弈过程中，无论对方的策略选择如何，当事人一方都会选择某个确定的策略，则该策略被称作最佳应对。 如果两个博弈的局中人的策略组合分别构成各自的最佳应对，那么这个组合就被定义为纳什均衡。

在给出纳什均衡解释前，我们先得把一个概念说清楚最佳应对。

最佳应对

• 假设 s 是局中人 1 的选择的一个策略，t 是局中人 2 的选择的一个策略；那么 是局中人 1 从这组决策(局势)中获得的收益， 是局中人 2 从这组决策中获得的收益
• 针对局中人 2 的策略 t，若局中人 1 用策略 s 产生的收益(效用函数的值)大于或等于任何其他策略，则称策略 s 局中人 1 对局中人 2 的策略 t 的最佳应对。

纳什均衡

纳什均衡是刻画局势，如果一个局势下，每个局中人的策略都是相对其他局中人当前策略的最佳对应，则称该局势是一个纳什均衡

占优策略

如果一个局中人的某个策略对其他局中人的任何策略都是最佳对应，那么这个策略就是该局中人的占优策略

在纳什均衡下，局中人没有人会想要改变改变，因为谁改变谁就可能在博弈中处于不利地位。

经典示例

首先我们来看一看在囚徒困境中纳什均衡，对于囚徒困境的问题的纳什均衡是双方都坦白，属于占优策略

• 当处于 局势时，如果一方改变就可能从 -1 到 0
• 而在 的局势时，如果一方改变就可能从 -3 到 -10

其实不管局中人 2 是抗拒还是坦白，对于局中人的最佳应对都是坦白。从而可以看出纳什均衡点并不一定是整体的最优解。有人可能会说那么为什么不是对于两个人都有利的(抗拒，抗拒)呢，这里最佳应对是无论对手进行策略对自己都是最佳策略，在最后 maxmin 时候就更会了解为什么他们会做出坦白选择，这是一个规避风险的策略。

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这就是纯策略纳什均衡，混合策略下纳什均衡，女生看舞蹈概率 p 看足球的概率就是 1 - p，男生看舞蹈概率 q 看足球的概率就是 1 - q

• 丈夫选择看足球策略的期望收益
  
  丈夫选择了看足球，当妻子以概率 1-p 也选择了看足球会得到收益 2
• 丈夫选择看舞蹈策略的期望收益
  

妻子随机性的目的: 使丈夫无机可乘，不管丈夫选择哪个策略，其期望收益均相同

• 妻子选择看足球策略的期望收益
  
  妻子选择了看足球，当丈夫以概率 1-q 也选择了看足球会得到收益 1
• 妻子选择看舞蹈策略的期望收益
  

当丈夫给出概率分布不会让妻子在看足球和看，关于
以我对丈夫了解他更喜欢看足球，

• 2/3 的概率会选择去看足球
• 1/3 的概率会选择去看舞蹈

混合策略下

• 混合策略: 每个局中人以某个概率分布在其策略集合中选择策略
• 混合策略下的纳什均衡:
  • 定义和纯策略纳什均衡一致：基于最佳应对定义
  • 必要条件: 给定其他局中人的策略选择概率分布的情况下，当前局中人选择任意一个(纯)策略获得的期望效用相等

局中人 1 的策略选择分布记为 , 局中人 2 的策略选择分布记为 。假设局中人 1 的策略分布不变，局中人 2 策略选择的效用为

• 剪刀:

• 石头:

• 布:

• 当前局中人选择任意一个混合策略获得的期望效用相等

剪刀—石头—布的混合纳什均衡态

• 如果局中人没有遵循 1/3 的随机策略，谁就会失去有利位置
• 每个玩家各以 1/3 的概率
• 期望收益为 0

纳什定理

任何有限博弈(参与人与策略数目均为有限)都至少存在一个纳什均衡，这个均衡可能是纯策略纳什均衡(例如剪刀-石头-布)，也可能是混合策略均衡，纳什均衡的多重性(例如性别之战)

纳什均衡的存在性与多重性

• 占优均衡:例如囚徒困境
• 纯策略纳什均衡:性别之战
• 混合策略纳什均衡