粒子滤波算法及其应用,粒子滤波预测
前言
几年前写博客的时候，编辑公式都是在在线网站上编辑的。 这个网站不稳定，有时看不到贴上的公式。 如有必要，请单击pdf版本的下载位置以打开链接。 给您带来不便，非常抱歉。 祝你好运。
在博主自主学习粒子滤波的过程中，阅读了很多文献和博客，不知道是阅读文献时疏忽了，还是理解能力太低了。 看那么多公式，就无法把握粒子滤波的想法，无法将理论和实践对应起来。 例如，在理论推导过程中那么多概率公式，概率是如何对应系统的状态变量的？ 状态粒子是如何一步步采样的，为什么在程序中直接用状态方程计算？ 粒子的权重怎么来？ 理解了一段时间，终于整理了那个上下文。 同时，我认为理论的推导应该有数，才能知道在什么地方可以使用这个算法，以及这个算法有什么不足。 因此，本文结合实际程序给出了粒子滤波的详细推导，并在推导过程中加入博主自身的理解。 如果有不方便的话，请指出来。 谢谢你。
文章架构：
从基本贝叶斯估计入手，引出蒙特卡罗采样、重要性采样、SIS粒子滤波、重采样、粒子滤波、通用粒子滤波、SIR粒子滤波。 这些概念的引入是为了解决前面概念中出现的问题而进行循环的。 最后给出了一些在matlab和python中的应用。 例行程序包括图像跟踪、滤波和机器人定位。
进一步往下看之前，看一下《卡尔曼滤波：从推导到应用》，也可以了解用这种状态方程式过滤的想法。
一、贝叶斯滤波
假设有一个系统。 已知其状态方程式和测量方程式如下。
例如(1) )。
例如(2) )。
其中，x为系统状态，y为已测量数据，f、h为状态转移函数和测量函数，v、n为过程噪声和测量噪声，噪声均独立同分布。 上面的对应示例将显示在程序中。
从贝叶斯理论的角度，状态估计问题(目标跟踪，信号滤波器)，是基于之前的一系列现有数据)后验知识)递归计算当前状态的置信度。 该可靠性是概率公式，需要通过预测和更新这两个步骤进行递归计算。
预测过程使用系统模型(状态方程式1 )来预测状态的先验概率密度，也就是说，根据现有的先验知识来推测未来的状态，p(x(k )|x(k-1 ) )。 在更新过程中，使用最新的测量值修正先验概率密度，得到后验概率密度，也就是修正以前的推测。
处理这些问题时，通常假定系统的状态转移遵循一阶马尔可夫模型，即当前时间点的状态x[k]仅与先前时间点的状态x(k-1 )相关。 这是一个自然的假设，就像小时候下国际象棋一样，下一时刻飞机飞行的位置只由当前时刻的位置和骰子决定。 另一方面，假设在k时刻测量的数据y(k )只与当前状态x ) k )相关，如上述状态式2所示。
要进行递归，请假设您知道k-1时间的概率密度函数
预测：根据上一个时刻的概率密度得出。 这个公式的意思是，既然有前一个1:k-1时刻的测量数据，就可以预测下一个状态x(k )出现的概率。
计算结果如下。
等式的第一行到第二行纯粹是贝叶斯公式的应用。 由于使用一阶马尔可夫过程的假设，可获得第二行到第三行，其中状态x(k )仅由x ) k-1 )确定。
楼主看到这里的时候，想到了两个问题：
第一，因为x(k )都只由x ) k-1 )决定，也就是说，在这里制作一个是什么意思？
这两个概率公式的含义不同。 第一个纯粹基于模型进行预测，x(k )实际上由x ) k-1决定，第二个既然测量的数据和状态有关，现在已经有很多测量数据y，我可以根据现有的经验来预测你只是推测x ) k，不能决定x ) k。
第二，上面公式的最后一行假设是已知的，怎么弄？
其实是由系统的状态方程决定的，其概率分布形状与系统的过程噪声形状一模一样。 怎么理解？ 观察状态方程式(1)式可知，x(k )=constant(x(k-1 ) ) v ) k-1 )也就是x ) k-1 )计算出的常数上叠加了噪声。 请看下图：
如果没有噪声，x(k )完全根据x ) k-1 )计算，概率分布的概念也消失了。 因为产生了噪声，所以x ) k )不太确定。 他的分布就像图的阴影部分，实际上形状和噪声一样，但是进行了一些平移。 了解这一点有助于在粒子过滤器程序中计算状态x(k )的采样。 x ) k )采样时，直接对过程噪声进行采样，并叠加f(x ) k-1 )这个常数即可。
更新：通过获得后验概率。 这个事后概率才是真正有用的，前一步还只是预测。 这里增加了k时刻的测量。 修改上面的预测是过滤。 这里的事后
概率也将是代入到下次的预测，形成递推。
推导：
其中归一化常数：
等式第一行到第二行是因为测量方程知道, y(k)只与x(k)有关，也称之为似然函数，由量测方程决定。也和上面的推理一样，, x(k)部分是常数，也是只和量测噪声n(k)的概率分布有关，注意这个也将为SIR粒子滤波里权重的采样提供编程依据。
贝叶斯滤波到这里就告一段落了。但是，请注意上面的推导过程中需要用到积分，这对于一般的非线性，非高斯系统，很难得到后验概率的解析解。为了解决这个问题，就得引进蒙特卡洛采样。关于它的具体推导请见 下一篇博文。
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reference：
1.M. Sanjeev Arulampalam 《A Tutorial on Particle Filters for Online Nonlinear/Non-Gaussian Bayesian Tracking》
2.ZHE CHEN 《Bayesian Filtering: From Kalman Filters to Particle Filters, and Beyond》
3.Sebastian THRUN 《Probabilistic Robotics》
3.百度文库 《粒子滤波理论》