神奇的魔方阵--(MagicSquare)(1)
神奇的魔方阵--(MagicSquare)(1)
本篇文章只对奇数阶以及偶数阶中阶数n = 4K的魔方阵进行讨论.下面就让我们进入正题:
1 :魔方阵的相关信息:(百度百科)
https://baike.baidu.com/item/%E9%AD%94%E6%96%B9%E9%98%B5/10973743?fr=aladdin
2 :奇数阶和偶数阶魔方阵的排列规律.(源自百度百科) (可跳至第三部分)
2.1 :奇数阶魔方阵的排列规律如下：
⑴ :将1放在第一行中间一列；
⑵ :从2开始直到n×n止各数依次按下列规则存放；每一个数存放的行比前一个数的行数减1，列数加1（例如上面的三阶魔方阵，5在4的上一行后一列；
⑶ :如果上一个数的行数为1，则下一个数的行数为n（指最下一行）；例如1在第一行，则2应放在最下一行，列数同样加1；
⑷ :当上一个数的列数为n时，下一个数的列数应为1，行数减去1。例如2在第3行最后一列，则3应放在第二行第一列；
⑸ :如果按上面规则确定的位置上已有数，或上一个数是第一行第n列时，则把下一个数放在上一个数的下面。例如按上面的规定，4应该放在第1行第2列，
但该位置已经被占据，所以4就放在3的下面。
2.2 :阶数为n = 4K 的魔方阵的排列规律如下：
(1) :先将整个方阵划分成k*k个4阶方阵，然后在每个4阶方阵的对角线上做记号；
(2) :由左而右、由上而下，遇到没有记号的位置才填数字，但不管是否填入数字，每移动一格数字都要加1；
(3) :自右下角开始，由右而左、由下而上，遇到没有数字的位置就填入数字，但每移动一格数字都要加1。
3 :排列规律的解读,代码实现以及实验结果( ar 二维数组 ,ROW ==行, COL == 列)
3.1 :奇数阶魔方阵(n = 2*K + 1)
奇数阶魔方阵的排列规律主要有以下三点:
3.1.1) : 数字1的位置是确定的,摆放在第一行中间的位置,即: ar[0][COL/2] == 1;
3.1.2)(重点) :假设当前摆放的数行列下标为 [preRow][preCol] , 则下一个数的摆放的位置的下标应为[preRow - 1] [preCol + 1] ,注意在这里(preRow - 1)
以及(preCol + 1)的值都有可能越界. 因此,需要对变化后的值进行操作.我们以ROW＝COL＝３为例，假设上一个值的下标为 [0][3] ,
那么下一个值的下标应为[2][1] ,他们与(preRow - 1)以及(preCol + 1)
即 [0 - 1][3 + 1]的关系,为[(-1 + 3)%3] [(3+1+3)%3], 即[(preRow - 1+ ROW)%ROW][(preCol + 1+ COL)%COL].
图示:
,
2的摆放位置的下标应为[(0 -1 + 3)%3][(1+1)%3] == [2][2] ,
即: 
3.1.3) : 若将要摆放的位置已有值存在,则将该值排放在上一个值的下一行.
例如:以三阶魔方阵为例: 按照相应的规则摆放1,2,3
,
要摆放4的位置的下标通过计算可以得出是[0][1],但是该位置已有数值1,因此4要摆放在3的下一行,即[preRow - 1][preCol],
同时用3.1.2的方法对[preRow-1]进行 防越界处理: [(preRow - 1 + ROW)%ROW][preCol].
代码如下:
#include<assert.h><stdio.h> ROW 3 COL ROW % != (ROW % == ) preRow = ; preCol = ; ar[ROW][COL] =][COL / ] = ; preRow = = COL / ( i = ; i <= ROW * COL; i++ (ar[(preRow - + ROW) % ROW][(preCol + ) % COL] == = (preRow - + ROW) %= (preCol + ) % preRow = (preRow + ) %= ( i = ; i < ROW; i++) ( j = ; j < COL; j++ ROW //取消定义 COL
运行结果:
3.2 :偶数阶魔方阵( n = 4*K )
偶数阶魔方阵的排列规律主要有以下两点:(以8阶为例)
3.2.1) : 先将 1 - ROW*COL 的值按从上到下,从左到右的顺序依次填入.接着将魔方阵分成k*k (在该例 k = 2)个4阶魔方阵,并将4阶魔方阵的对角线的数值取出(如下图带颜色部分的数值).
3.2.2) : 将取出来的值按照从大到小的顺序(或从小到大的顺序)排好,从二维数组的[0][0]下标开始(从二维数组[ROW - 1][COL - 1]的位置开始) 依次填入到数组中空白的位置.
(重点)排列n= 4*k 阶的魔方阵的关键是取出各个四阶魔方阵的对角线的元素.我们可以发现:所有在对角线的元素的行列下标只差都满足一定的规律:
即 |row - col|(绝对值) % 4 == 0 (对应图中黄色部分)或者(row + col)%4 == 3(对应图中红色部分) .同时我们可以定义一个数组br[ROW*ROW/2],
在第一步填入数据时对其行列下标进行判断,若满足对角线元素下标的特点,直接将数值存放到br中,同时对二维数组相应的位置赋零值.
这样br 中的数就是从小到大排列的,只需要在第二步时从二维数组ar 的ar[ROW - 1][COL - 1]的位置开始,
依次将数组br中的值填入到数组中空白的位置.
代码如下:
#include<stdio.h>#include<assert.h>void Magic_Square_4K()
{#define ROW 8#define COL ROW int ar[ROW][COL] = {}; int br[ROW*ROW/2] = {};//用来存储4阶方阵对角线元素. int num = 1;//从1开始填入 int k = 0;//数组br下标. for (int i = 0; i < ROW; i++)
{ for (int j = 0; j < COL; j++)
{ if((i-j)%4==3||(i-j)%4==0|| (j - i) % 4 == 3 || (j - i) % 4 == 0)
{//先控制对角线元素为零,并将应该填在对角线的这些数记录到br中.
br[k] = num;
k += 1;
ar[i][j] = 0;
} else
{
ar[i][j] = num;
}
num++;
}
} int tag = 0; for (int i = ROW - 1; i >= 0; i--)//将br中的数按照顺序,从ar[ROW-1][COl-1]开始对ar中为零的元素赋值. { for (int j = COL - 1; j >= 0; j--)
{ if (ar[i][j] == 0)
{
ar[i][j] = br[tag];
tag += 1;
}
}
} for (int i = 0; i < ROW; i++)//打印 { for (int j = 0; j < COL; j++)
{
printf("%4d", ar[i][j]);
}
printf("\n");
}#undef ROW#undef COL}int main()
{
Magic_Square_4K(); return 0;
}
运行结果:
未完待续...